Aljabar Abstrak Beserta Jenis Aljabar Lain
Ilustrasi aljabar abstrak
Aljabar abstrak makanan apa itu? Bagi orang yang awam dari dunia matematika pasti sering berkomentar seperti itu atau bahkan para mahasiswa yang sedang menjalani mata kuliah ini juga berpikiran seperti itu. Membayangkan pelajaran aljabar waktu di sekolah tingkat menengah dan tingkat atas dulu saja sudah membuat ingin muntah apalagi yang ada embel-embel kata abstrak.
Bagi anda yang pernah duduk di bangku sekolah tingkat menengah dan atas pastilah kata alljabar sudah tidak asing lagi. Mungkin sebagian besar dari anda mempunyai kenangan yang buruk tentang aljabar dikarenakan nilai yang jelek atau bahkan guru matematika yang super galak. Jangankan mau mempelajarinya kembali, membayangkan kata aljabar saja pastilah membuat anda terbayang persamaan yang mengandung x, y yang rumit dan membuat pusing.
Tenang saja, aljabar abstrak (aljabar modern) atau lebih dikenal dengan sebutan struktur aljabar hanya dipelajari oleh Mahasiswa jurusan Matematika karena aljabar jenis ini termasuk dalam golongan Matematika tingkat tinggi.Tapi, tidak ada salahnya kita mengetahui garis besar tentang Ilmu Aljabar abstrak, apalagi sampai berminat untuk mempelajarinya lebih dalam. Berikut ini akan dibahas mengenai sejarah ilmu aljabar, pengertian ilmu aljabar dan jenis-jenis ilmu aljabar.
Sejarah Ilmu Aljabar
Sebenarnya ilmu aljabar sudah ada sejak zaman dahulu kala sebelum masehi. Hal ini berdasarkan penemuan dokumen Mesir kuno yang ditulis pada abad 1600 SM. Dokumen tersebut adalah karya seorang ahli matematika yang bernama Atimes Papyres, yang berisi sejumlah soal aljabar. Dalam dokumen tersebut Atimes papires menggunakan kata "hau" sebagai pengganti bilangan yang belum diketahui.
Hau sendiri memiliki arti "sebuah tumpukan atau onggokan". Sehingga dapat disimpulkan bahwa pada saat itu masyarakat mengenal lambang atau simbol tertentu sebagai pengganti variabel, mereka masih menggunakan kata-kata sebagai pengganti variabel.
Selanjutnya, pada abad III perkembangan ilmu aljabar di tangan Diophantus yang merupakan seorang matematikawan Yunani tidak terlalu berkembang pesat. Diophantus meringkas soal-soal dalam persamaan-persamaan tertentu dan menyimbolkan bilangan yang belum diketahui dengan huruf Yunani yaitu sigma.
Selain itu, Diophantus juga memperkenalkan suatu sistem yang cukup menarik yaitu dengan menggunakan singkatan huruf pertama untuk menyatakan suatu persamaan. Sebagai contoh, Kuadrat Tersamar Plus Bilangan Sama Dengan 100 disingkat menjadi KTPBSD100.
Kemudian, pada abad IX istilah "aljabar" baru muncul, hal ini berkat jasa matematikawan Persia bernama Muhammad ibn Musa al-Kwarizmi yang lebih dikenal dengan sebutan al-Kwarizmi atau "bapak Aljabar". Sebenarnya, kata aljabar sendiri diambil dari kitab hasil tulisan al-Kwarizmi yang berjudul ‘Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala’. Aljabar atau Al-Jabr memiliki arti penempatan kembali yang bermakna pemindahan tanda positif ke ruas lain persamaan untuk membuatnya menjadi negatif dan sebaliknya.
Penyebaran kata Al-Jabr mulai terjadi ketika bangsa Arab datang ke Spanyol dan membawa serta kata tersebut. Lama kelamaan seiring dengan berjalannya waktu kata Al-Jabr pun berubah menjadi aljabar. Kata aljabar sendiri semakin popular dan tidak hanya diterapkan pada satu macam pengerjaan hitung saja, tetapi juga diterapkan pada berbagai pengerjaan hitung yang masih tercakup dalam konteks aljabar.
Perkembangan Aljabar berikutnya terjadi pada abad XVI oleh Francois Vieta seorang matematikawan Perancis dan pada abad XVII oleh Rene Descartes yang merupakan filosof besar Perancis. Disini mereka berdua sama-sama mengembangkan simbol atau lambang untuk persamaan aljabar.
Francois Vieta, menggunakan huruf vocal a, e, i, o dan u untuk menunjukkan bilangan yang belum diketahui dan menggunakan huruf konsonan b, c, d, f, g, dan seterusnya untuk menyatakan suatu harga yang tetap dalam soal-soal tertentu yang telah disepakati sebelumnya.
Sedangkan, Rene Descartes mengemukakan lambang aljabar yang akhirnya digunakan sampai sekarang, yaitu penggunaan huruf a, b, c, dan huruf-huruf lain yang berdekatan dengan huruf permulaan alfabet untuk menyatakan suatu bilangan tetap, sedangkan penggunaan huruf-huruf terakhir alphabet seperti x, y, z dan w menyatakan suatu bilangan yang belum diketahui.
Setelah simbol-simbol aljabar digunakan secara luas, ilmu aljabar berkembang dengan cepat menjadi suatu perangkat kaidah-kaidah dan dalil yang sistematis yang dapat diterapkan pada semua bilangan.
Pengertian Ilmu Aljabar
Ilmu Aljabar merupakan salah satu cabang ilmu matematika yang menggunakan simbol, lambang dan huruf untuk mewakili angka-angka yang belum diketahui. Sebenarnya, secara tidak langsung anda sering sekali mempelajari atau bahkan menerapkan ilmu aljabar dalam kehidupan sehari-hari.
Contoh
Adik membeli permen 5 buah dan coklat 1 buah di sebuah toko. Berapakah harga 1 buah permen jika diketahui harga sebuah coklat Rp 1.000,00 dan adik harus membayar Rp 3.500,00 untuk seluruh total belanjanya?
Penyelesaian
Misalkan: Harga permen = x
Bentuk aljabar dari persoalan di atas dapat kita bentuk sebagai berikut
5x + 1.000 = 3.500
5x + 1.000 - 1.000 = 3.500 - 1.000
5x = 2.500
5x : 5 = 2.500 : 5
x = 500
Jadi, harga permen adalah Rp 500,00
Jenis-jenis Ilmu Aljabar
Secara garis besar ilmu aljabar dapat dibagi menjadi beberapa kategori, antara lain;
1. Aljabar Elementer
Mempelajari sifat-sifat operasi pada bilangan real meliputi +, -, x, : dengan menggunakan simbol dan huruf sebagai konstanta dan variabel serta aturan yang membangun ekspresi dan persamaan Matematika yang melibatkan simbol dan huruf tersebut. Aljabar elementer merupakan bentuk aljabar paling dasar dan biasanya diajarkan kepada siswa yang belum memiliki pengetahuan Matematika selain Aritmatika Dasar.
Contoh permasalahan aljabar elementer
Carilah bilangan x yang memenuhi persamaan 2x-2 = 8!
Penyelesaian
2x - 2 = 8
2x -2 + 2 = 8 + 2
2x = 10
2x : 2 = 10 : 2
x = 5
Jadi, nilai dari bilangan x adalah 5
2. Aljabar Abstrak atau Aljabar Modern
Merupakan cabang dari ilmu matematika yang mempelajari struktur aljabar, seperti grup, ring, medan, modul, ruang vektor, dan medan (fields). Pada awal abad ke 20 istilah aljabar abstrak diciptakan dengan tujuan untuk membedakannya dengan istilah aljabar.
Sistem aljabar (algebraic system) terdiri atas suatu himpunan obyek, satu atau lebih operasi pada himpunan bersama dengan hukum tertentu yang dipenuhi oleh operasi. Salah satu alasan yang paling penting untuk mempelajari sistim tersebut adalah untuk menyatukan sifat-sifat pada topik-topik yang berbeda dalam matematika.
Contoh permasalahan aljabar abstrak atau aljabar modern
Operasi * didefinisikan pada himpunan bilangan real R dengan a*b = (1/2)ab.
Tunjukkan bahwa * assosiatif dan komutatif!
Penyelesaian
Akan ditunjukkan bahwa * assosiatif dan komutatif.
Assosiatif:
Karena (a*b)*c = (1/2 ab)*c
= (1/2)((1/2 ab)c)
= (1/4) (ab)c
dan pada sisi lain
a*(b*c) = a*((1/2) bc)
= (1/2) a((1/2) bc)
= (1/4)(ab)c
untuk semua a, b dan c dalam R maka * assosiatif.
Komutatif
Karena a*b = (1/2)ab
= (1/2)ba
= b*a
untuk semua a, b dalam R maka * komutatif.
3. Aljabar Linier
Mempelajari sifat-sifat khusus dari matriks dan ruang vektor.
Contoh permasalahan Aljabar linier
Tentukanlah hasil perkalian vektor a = (1, 2, 1 ) dan vektor b = (0, 3, -5)!
Penyelesaian
a.b = (1, 2, 1) . (0, 3, -5)
= ( 1 x 0 + 2 x 3 + 1 x -5)
= 0 + 6 - 5
= 1
4. Aljabar Universal
Seperti namanya "universal" yang berarti keseluruhan, aljabar ini mempelajari sifat-sifat bersama dari keseluruhan struktur aljabar.
Ilmu aljabar merupakan bagian dari matematika yang dikenal sebagai ilmu deduktif, karena proses mencari kebenaran (generalisasi) dalam matematika yang berbeda dengan ilmu pengetahuan alam dan ilmu pengetahuan yang lain yang pada umumnya induktif. Dalam matematika, jika suatu generalisasi dari teori, sifat atau dalil nilai kebenarannya sudah dibuktikan secara deduktif maka nilai kebenaran tersebut dapat diterima keabsahannya.
Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa sebenarnya ilmu aljabar ada beberapa jenis mulai dari yang dasar seperti aljabar elementer bahkan sampai yang tingkat tinggi seperti aljabar abstrak dan untuk memahami ilmu aljabar tingkat tinggi diperlukan konsep pemikiran yang dibangun dengan logika yang kuat.
