Memahami Aljabar, Cabang Matematika yang Dikenal Rumit

aljabar Ilustrasi aljabar

Bagi pelajar masa kini, istilah Aljabar mungkin terdengar sangat kuno. Bahkan mungkin sebagian pelajar masa kini tidak mengenal istilah ini. Namun bagi mereka yang duduk di bangku sekolah sebelum era tahun 1990-an, tentu tidak akan asing dengan istilah Aljabar yang merupakan bagian dari ilmu matematika.

Dalam Wikipedia Bahasa Indonesia, Aljabar didefinisikan salah satu cabang dalam ilmu matematika yang di dalamnya terdapat penggunaan simbol untuk menggantikan konstanta serta variabel sebagai cara menyederhanakan dan memecahkan masalah.

Istilah Aljabar berasal dari bahasa Arab "al-jabr". Kata "al-jabr" sendiri mengandung arti "pertemuan", "hubungan" atau "perampungan". Cabang ilmu matematika ini kemudian dikenal sebagai generalisasi dari bidang aritmatika.

Ilmu Aljabar

Ilmu Aljabar ditemukan oleh Abu Abdullah Muhammad Ibn Musa al-Khwarizmi. Ia adalah seorang ilmuwan muslim yang lahir di kota Khawarizm (Kheva, sekarang Uzbekisthan) pada 770 M. Bersama keluarganya, Al-Khwarizmi kemudian hijrah ke Baghdad, Irak.

Kecerdasan Al-Khwarizmi memang sudah terlihat jelas sejak kecil. Kepandaiannya menghitung bilangan-bilangan dalam jumlah yang cukup besar, mengantarkannya ke House of Wisdom melalui sebuah program beasiswa belajar. House of Wisdom adalah sebuah akademi yang didirikan di Kota Baghdad oleh al-Ma'mun.

Kala itu, Kota Baghdad memang dikenal sebagai pusat pendidikan bagi para ilmuwan dan cendekiawan muslim, dan pusat ilmu pengetahuan dunia. Di Kota Baghdad inilah Al-Khwarizmi yang berdarah Uzbekistan mampu mengguncangkan dunia ilmu matematika melalui penemuan yang spektakuler, yaitu konsep algoritma.

Dalam buku pertamanya yang berjudul al-Jabar, Al-Khwarizmi membahas solusi sistematik dari linear dan notasi kuadrat. Buku inilah yang kemudian mengantarkannya dikenal sebagai Bapak Aljabar. Kontribusi Al-Khwarizmi memiliki dampak besar pada perkembangan ilmu matematika. Selain di bidang matematika, Al-Khwarizmi juga memiliki peran signifikan dalam bidang kebahasaan, terkait dengan istilah Aljabar dan logartima.

Kata aljabar, diadaptasi dari bahasa Arab "al jabr" yang tercantum dalam buku Al-Jabar. Al-Jabar adalah salah satu dari dua operasi dalam matematika yang digunakan untuk menyelesaikan notasi kuadrat. Sementara itu, istilah logarisme dan logaritma merupakan Latinisasi dari Algorismi dari nama Al-Khwarizmi. Nama Al-Khwarizmi juga diserap dalam bahasa Spanyol menjadi Guarismo dan dalam bahasa Portugis, menjadi Algarismo yang mengandung arti digit.

Ribuan tahun sejak ditemukan oleh Al-Khwarizmi, ilmu Aljabar terus digunakan hingga era ilmu pengetahuan modern. Sejarah mencatat, Aljabar telah digunakan oleh bangsa Mesopotamia sekitar 3.500 tahun yang lalu, hingga ilmuwan dan matematikawan Inggris Sir Isaac Newton. Ilmuwan ini membuktikan bahwa aljabar dapat menjelaskan perilaku suatu peristiwa di alam. Penemuannya ini dirumuskan dalam rumus terkenal yaitu gravitasi Newton.

Seiring perkembangan ilmu pengetahuan, Aljabar bersama dengan Geometri, Analisis serta Teori Bilangan menjadi cabang-cabang utama yang dipelajari dalam Ilmu Matematika. Aljabar Elementer, kini menjadi bagian dari kurikulun sekolah menengah.

Aljabar elementer sesuai namanya merupakan elemen atau dasar ide dari Aljabar secara keseluruhan, meliputi semua sifat Aljabar yaitu penambahan, konsep variabel, perkalian bilangan, definisi polinom, faktorisasi, dan menentukan akar pangkat.

Selain Al -Khwarizmi, juga dikenal beberapa nama yang memiliki peran besar terhadap perkembangan ilmu aljabar dan algoritma. Matematikawan Yunani pada zaman Hellenisme, Diophantus, juga dikenal sebagai 'Bapak Aljabar'.

Namun sebagain besar ilmuwan dan matematikawan setuju jika Al-Khwarizmi yang berhak atas sebutan Bapak Aljabar, terkait banyaknya fakta yang menunjukkan bahwa hasil karya tersebut pada prinsip reduksi masih relevan hingga sekarang, juga tentang penjelasan yang detail tentang pemecahan persamaan kuadratik.

Sementara Diophantus disebut-sebut hanya menemukan Aljabar dalam bentuk sangat elementer. Matematikawan Persia, Omar Khayyam, juga berperan membangun Aljabar Geometri, juga sebagai penemu bentuk dasar geometri dari persamaan kubik.

Ilmu Aljabar juga semakin diperkaya dengan pemecahan berbagai persamaan kubik, kuartik, polinom, dan kuintik tingkat tinggi, yang dilakukan oleh matematikawan India yaitu Mahavira dan Bhaskara, serta Matematikawan dari Cina, Zhu Shijie. Pada pertengahan abad 16, Aljabar semakin berkembang pesat.

Matematikawan Jepang, Kowa Seki di abad 17, mengemukakan ide tentang determinan. Sepuluh tahun kemudian, Gottfried Leibniz menyempurnakan ide tersebut dengan menggunakan matriks untuk memecahkan Sistem Persamaan Linier dengan simultan. Sumbangan karya tentang matriks dan determinan juga disumbangkan oleh Gabriel Cramer pada abad ke-18. Selanjutnya Aljabar Abstrak mulai berkembang pada abad ke-19, diawali oleh teori Galois dan masalah keterkonstruksian (constructibility).

Tahap-tahap Perkembangan Aljabar

Secara garis besar, tahap-tahap perkembangan Aljabar simbolik dapat dikategorikan sebagai berikut.

Aljabar Retorik (Rhetorical algebra). Aljabar ini dikembangkan oleh bangsa Babilonia hingga abad ke-16.

Aljabar yang dikontruksi secara Geometri. Jenis Aljabar ini dikembangkan oleh matematikawan dari India dan Yunani kuno.

Syncopated algebra, dikembangkan oleh Diophantus dan dalam 'the Bakhshali Manuscript'.

Aljabar simbolik (Symbolic algebra). Aljabar bentuk ini mengalami klimaks dalam karya Leibniz.

Klasifikasi Aljabar

Secara garis besar, Aljabar bisa dibagi dalam beberapa kategori sebagai berikut.

Aljabar Elementer. Penggunaan simbol sebagai konstanta dan variabel dipelajari dalam Aljabar jenis ini, yang diaplikasikan pada operasi bilangan riil. Ekspresi dan persamaan Matematika yang melibatkan simbol diatur dalam hukum tertentu (bidang ini biasanya dipelajari di sekolah menengah dengan istilah 'Intermediate Algebra' dan 'college algebra'). Aljabar Elementer adalah bentuk paling dasar dari Aljabar. Biasanya Aljabar jenis ini ini dipelajari oleh siswa yang memiliki pengetahuan matematika namun selain Aritmatika Dasar.

Aljabar Abstrak. Istilah lain untuk Aljabar bentuk ini adalah Aljabar Modern. Fokus pembelajarannya adalah terletak pada struktur Aljabar, misalnya Grup, Ring, dan Medan (fields) yang dipelajari secara aksiomatis.

Aljabar Linier. Aljabar Linier mempelajari sifat-sifat khusus dari Ruang Vektor (termasuk Matriks).

Aljabar Universal. Sesuai dengan namanya, maka Aljabar bentuk ini juga memiliki sifat-sifat universal, yaitu sifat-sifat umum yang ada dalam seluruh struktur Aljabar.

Aljabar Komputer. Aljabar bentuk ini fokus pada pengumpulan manipulasi simbolis dari benda-benda matematis. Sistem Aljabar aksiomatis seperti Grup, Ring, Medan, dan Aljabar di atas sebuah medan (algebras over field) kemudian dalam studi Aljabar lebih lanjut, dipelajari bersama dengan sebutan Struktur Geometri Natural. Studi ini kompatibel dengan bidang Tipologi.

Bentuk-bentuk Aljabar

Dalam ilmu Aljabar, kita mengenal bentuk persamaan dan pertidaksamaan linear.

Persamaan linear satu variabel. Hukum yang berlaku dalam persamaan ini adalah persamaan pangkat satu, yang memiliki aturan: ruas kiri dan ruas kanan bisa ditambahkan atau juga dikurangi bilangan yang sama. Ruas kiri serta ruas kanan bisa dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama.

Pertidaksamaan Linear satu variable. Di dalam persamaan ini terdapat kalimat terbuka dengan tanda <,>. Hukum-hukum yang berlaku adalah: ruas kiri atau kanan bisa ditambah, dikurangi, dikali, atau dibagi bilangan yang sama. Jika variabel bertanda minus, harus diganti menjadi positif dengan mengalikan bilangan negatif dan membalikan tanda

Itulah berbagai penjelasan seputar Aljabar, salah satu cabang dalam ilmu matematika yang di dalamnya terdapat penggunaan simbol untuk menggantikan konstanta serta variabel sebagai cara menyederhanakan dan memecahkan masalah. Semoga bermanfaat!