Koordinat Kutub
Ilustrasi koordinat kutub
Pastilah Anda sudah tidak asing lagi dengan kata "koordinat", karena koordinat merupakan salah satu materi dalam pelajaran matematika yang sudah umum dijumpai di Sekolah Dasar. Koordinat merupakan bilangan yang dipakai untuk menunjukkan lokasi suatu titik di dalam garis, permukaan atau ruang.
Koordinat sebenarnya terdiri dari beberapa macam dengan tingkat kesukaran yang berbeda pula, sehingga untuk memudahkan proses belajar-mengajar, maka pembelajaran koordinat dilakukan secara bertahap dari tingkat sederhana, tingkat menengah sampai tingkat rumit.
Seperti koordinat Cartesius diajarkan pada jenjang SD (Sekolah Dasar), koordinat kutub/polar diajarakan di tingkat SMA (Sekolah Menengah Atas) dan koordinat Bola dan Tabung baru di pelajari di jenjang perguruan tinggi , itupun kalau Anda masuk dalam jurusan ilmu eksakta seperti matematika atau teknik.
A. Sejarah Penemuan koordinat
Ilmu ukur koordinat ditemukan oleh Rene Descartes atau lebih dikenal dengan nama Cartesius lahir di Le Haye, Perancis 31 Maret 1596 . Kemudian meninggal di Stockholm, Swedia 11 Februari 1650 pada usia 54 tahun akibat penyakit pneumonia yang dideritanya.
Pria berkebangsaan Prancis ini dijuluki sebagai bapak matematika modern, karena peran besarnya dalam menggabungkan ilmu aljabar dan geometri. Sistem koordinat merupakan salah satu hasil penemuannya yang banyak mempengaruhi perkembangan kalkulus, geometri analitik dan kartografi.
Ide dasar sistem koordinat mulai dikembangkan pada tahun 1637 berdasarkan dua tulisan karya Descartes, yaitu Discourse on Method dan La Géométrie . Dalam tulisannya yang berjudul Discourse on Method, dia memperkenalkan gagasan baru dalam menggambarkan posisi titik atau obyek pada sebuah permukaan dengan menggunakan dua sumbu yang letaknya tegak lurus antara satu dengan yang lain. Sedangkan, dalam tulisannya yang berjudul La Géométrie lebih memperdalam konsep-konsep yang sebelumnya sudah pernah dikembangkan.
B. Pengertian Sistem Koordinat
Sistem koordinat adalah suatu metode yang digunakan untuk menentukan letak/posisi suatu titik pada bidang dua dimensi atau tiga dimensi. Sistem koordinat dbedakan menjadi 2 macam, yaitu sistem koordinat pada bidang dua dimensi dan sistem koordinat pada bidang tiga dimensi.
Sistem Koordinat Pada Bidang Dua dimensi
Sistem koordinat dua dimensi merupakan sistem koordinat yang paling sederhana karena hanya melibatkan dua sumbu. Kalau pada coordinat cartesius melibatkan (x,y) sedangkan pada koordinat kutub melibatkan (r, θ)
1. Sistem Koordinat Cartesius
Dalam koordinat Cartesius dikenal dua macam sumbu yang saling tegak lurus satu sama lain, yaitu sumbu-x dan sumbu-y. Sumbu yang mendatar disebut dengan sumbu-x (absis). Sedangkan yang tegak disebut dengan sumbu-y (ordinat). Kedua sumbu ini saling berpotongan di titik (0,0) atau lebih dikenal sebagai titik origin (titik asal).
Wilayah koordinat Cartesius terbagi menjadi empat bagian yang masing-masing disebut sebagai kuadran. Urutan penamaan kuadran mengikuti arah berlawanan dari jarum jam dari Kuadran I, II, III hingga IV. Untuk lebih mengenal wilayah kuadran perhatikan penjelasan berikut.
Kuadran I : terletak di antara sumbu-x positif dan sumbu-y positif
Kuadran II : terletak di antara sumbu-x negatif dan sumbu-y positif
Kuadran III : terletak di antara sumbu-x negatif dan sumbu-y negatif
Kuadran IV : terletak di antara sumbu-x positif dan sumbu-y negatif
Contoh
Tentukanlah letak koordinat A (3,2) pada koordinat Cartesius dua dimensi!
Jawaban:
Koordinat A (3,2) artinya pada sumbu-x memotong di titik 3 dan di sumbu y memotong di titik 2, kemudian dari titik 3 dan 2 tersebut ditarik garis yang saling tegak lurus hingga berpotongan satu sama lain di satu titik. Titik perpotongan inilah yang disebut titik A (3,2).
Titik A (3,2) terletak pada kuadran I karena absis = 3 (terletak pada sumbu-x positif) dan ordinat = 2 (terletak pada sumbu-y positif).
2. Sistem Koordinat Kutub/Polar
Dalam koordinat kutub/polar dikenal dua macam elemen, yaitu r dan θ. Tidak seperti pada koordinat Cartesius yang memiliki dua sumbu yang selalu saling tegak lurus, pada koordinat kutub/polar posisi elemen r tergantung pada θ (besar sudut) yang digunakan. Pengertian r disini adalah jarak suatu titik (x,y) terhadap titik O (kutub), posisi r berubah-ubah tergantung pada besar sudut θ.
Untuk memudahkan dalam penentuan r dan θ digunakan bantuan sumbu x dan sumbu y pada koordinat Cartesius. Besarnya sudut θ merupakan besar sudut antara garis r dengan sumbu mendatar (sumbu-x).
Dalam menentukan θ (besar sudut) dapat dilakukan dengan dua macam cara yaitu searah jarum jam dan berlawanan arah jarum jam. Perlu diingat bahwa hasil perhitungan sudut yang berlawanan arah jarum jam adalah positif, sedangkan yang searah jarum jam hasilnya negatif. Sistem koordinat kutub/polar sangat tepat jika digunakan untuk membuat suatu objek/garis yang mempunyai panjang dan sudut/kemiringan tertentu.
Hubungan Antara Koordinat Cartesius dan Koordinat Polar
Koordinat kutub/Polar (r,θ) dapat diubah menjadi koordinat Cartesius (x,y) dengan bantuan fungsi trigonometri sinus dan cosinus
x = r cos θ
y = r sin θ
Sebaliknya, koordinat Cartesius (x,y) juga dapat diubah menjadi koordinat kutub/polar (r, θ) dengan nilai r ≥ 0 dan interval -π < θ ≤ π
r = √(x2 + y2) (dengan menggunakan teorema Phytagoras)
θ = arc tan (y/x) (nilainya tergantung pada letak kuadran)
Contoh
Ubahlah koordinat kutub/Polar (2,) menjadi koordinat Cartesius! (Diketahui sinus π/2 = 1 dan cosinus π/2 = 0)
Jawaban
Diketahui koordinat kutub/polar (2, π/2) artinya nilai r = 2 dan θ = π/2
x = r cos θ
= 2 cos π/2
= 2.0
= 0
y = r sin θ
= 2 sin π/2
= 2.1
= 2
Sehingga, koordinat Cartesiusnya adalah (0,2)
Ubahlah koordinat Cartesius (1,1) menjadi koordinat kutub/polar! (Diketahui arc tan 1 = π/4)
Jawaban
r = √(x2 + y2)
= √(12 + 12)
= √2
θ = arc tan (y/x)
= arc tan (1/1)
= arc tan 1
= π/4
Sehingga, koordinat kutub/polarnya adalah (√2, π/4)
Sistem Koordinat Pada Bidang Tiga Dimensi
Sistem koordinat tiga dimensi terdiri dari tiga jenis koordinat, yaitu koordinat Cartesius, Tabung dan Bola. Masing-masing jenis koordinat tersebut terdiri dari tiga elemen yang disesuakan dengan jenis koordinat masing-masing
Pada koordinat Cartesius elemen-elemennya berupa sumbu x, y dan z yang saling tegak lurus satu sama lain serta saling berpotongan di titik O (titik asal/origin). Bidang koordinat Cartesius tiga dimensi terbagi menjadi 8 daerah (kuadran), yaitu kuadran I sampai kuadran VIII.
Pada koordinat Tabung elemen-elemennya adalah r, θ, z dimana r merupakan jarak suatu titik (x, y) terhadap titik O, θ merupakan besar sudut antara hasil proyeksi garis r pada bidang xoy dengan sumbu y, dan z merupakan garis tinggi yang diperoleh dengan menghubungkan r dengan hasil proyeksinya pada bidang xOy.
Sedangkan pada koordinat Bola elemen-elemennya adalah ρ, θ, Φ dimana ρ adalah jarak titik (x, y, z) terhadap titik O, θ merupakan besar sudut antara sumbu y dengan hasil proyeksi ρ, dan Φ merupakan besar sudut antara sumbu z dengan ρ.
Hubungan Antara Koordinat Cartesius dan Koordinat Tabung
Seperti pada sistem koordinat dua dimensi yang saling berhubungan satu sama lain, sistem koordinat tiga dimensi juga demikian. Pada sistem koordinat tiga dimensi jenis-jenis koordinatnya dapat diubah dari satu jenis ke jenis lain.
Koordinat Cartesius (x, y, z) dapat diubah menjadi Koordinat tabung (r, θ, z) dan Koordinat Bola (ρ, θ, Φ). Untuk lebih jelasnya perhatikan hubungan antara koordinat Cartesius dengan koordinat tabung dan koordinat bola sebagai berikut :
Mengubah koordinat Cartesius (x, y ,z) menjadi koordinat tabung (r, θ, z)dan koordinat bola (ρ, θ, Φ)
r = √(x2 + y2)
θ = arc tan (y/x)
z = z
Mengubah koordinat tabung (r, θ, z) menjadi koordinat Cartesius (x, y ,z)
x = r cos θ
y = r sin θ
z = z
Contoh
- Ubahlah koordinat Cartesius (3,3,5) menjadi koordinat tabung! (Diketahui arc tan 1 = π/4)
Jawaban
r = √(x2 + y2)
= √(32 + 32)
= √18
= 3√2
θ = arc tan (3/3)
= arc tan 1
= π/4
z = z
= 5
Sehingga, koordinat kutub/polarnya adalah (3√2, π/4, 5)
- Ubahlah koordinat tabung(6, π/6, -2) menjadi koordinat Cartesius! ( Diketahui sinus π/6 = 1/2√3 dan cosinus π/6=1/2)
Jawaban
x = r cos θ
= 6 cos π/6
= 6 . 1/2√3
= 3√3
y = r sin θ
= 6 cos π/6
= 6 . 1/2
= 3
z = z
= -2
Sehingga, koordinat Cartesiusnya adalah (3√3, 3, -2)
Hubungan Antara Koordinat Cartesius, Koordinat Bola dan Koordinat Tabung
Hubungan antara koordinat Cartesius, Bola dan Tabung saling berhubungan satu sama lain. Hubungan ini dapat di tunjukkan dalam rumus-rumus berikut.
r = ρ sin θ atau r = √(x2 + y2)
θ = θ
x = ρ sin Φ cos θ
y = ρ sin Φ sin θ
z = ρ cos Φ
ρ =√(x2 + y2+z2)
Contoh
Ubahlah koordinat bola(8, π/3, 2π/3) ke dalam koordinat Cartesius dan koordinat tabung!
Jawaban
- Mengubah koordinat bola ke koordinat Cartesius
Koordinat bola (8, π/3, 2π/3) berarti ρ = 8, θ= π/3 , Φ = 2π/3
x = ρ sin Φ cos θ
= 8 sin 2π/3 cos π/3
= 8. 1/2√3. 1/2
= 2√3
y = ρ sin Φ sin θ
= 8 sin 2π/3 cos π/3
= 8.1/2√3. 1/2√3
= 6
z = ρ cos Φ
= 8 cos 2π/3
= 8 . -1/2
= -4
Sehingga, koordinat Cartesiusnya adalah (2√3, 6,- 4)
- Mengubah koordinat bola ke koordinat tabung
Koordinat bola (8, π/3, 2π/3) berarti ρ = 8, θ = π/3 , Φ = 2π/3
r = ρ sin θ
= 8 sin π/3
= 8.1/2√3
=4√3
θ = θ
= π/3
z = ρ cos Φ
= 8 cos 2π/3
= 8 . -1/2
= -4
Sehingga, koordinat tabungnya adalah (4√3, π/3 , -4)
Sistem Koordinat Lainnya
Dalam penggunannya dalam ilmu hisab, secara khusus koordinat bola dapat dibagi menjadi empat macam berdasarkan pusat perputarannya, yaitu
1. Koordinat Ekliptika Heliosentrik (Heliocentric Ecliptical Coordinate).
Matahari sebagai pusat koordinat sedangkan bumi dan benda langit lainnya bergerak mengitari matahari
2. Koordinat Ekliptika Geosentrik (Geocentric Ecliptical Coordinate).
Bumi sebagai pusat koordinat sedangkan matahari dan benda langit lainnya bergerak mengitari bumi
3. Koordinat Ekuator Geosentrik (Geocentric Equatorial Coordinate).
Bumi sebagai pusat koordinat dengan memperhatikan bahwa bidang ekliptika tidak sejajar dengan bidang ekuator
4. Koordinat Horison (Horizontal Coordinate).
Posisi pengamat (bujur dan lintang) yang berada di permukaan bumi sebagai pusat koordinat
Demikianlah penjelasan mengenai sistem koordinat baik yang dua dimensi dan tiga dimensi. Semoga dapat menambah wawasan anda dalam memahami sistem koordinat kutub/polar, Cartesius, Bola dan Tabung.
